Zobacz odpowiedź na Zadanie 1.101 z podręcznika Matematyka. Klasa 2. Zbiór zadań. Poziom podstawowy – rozwiązania i odpowiedzi. Rozwiązanie i wyjaśnienie problemu
Matematyka Dla absolwentów SZKOŁY PODSTAWOWEJ Marcin KurczabElżbieta KurczabElżbieta Świda Podręcznik jest przeznaczony dla absolwentów szkół podstawowych, którzy uczęszczają do 4-letnich liceów i 5-letnich techników. Jest zgodny z podstawą programową, która obowiązuje w tych szkołach od września 2019 r. Materiał zawarty w podręczniku jest kontynuacją i rozwinięciem zagadnień przedstawionych w podręczniku do klasy 1., 2. i 3. Autorzy omówili w nim funkcję wykładniczą i logarytmiczną, elementy statystyki, rachunek prawdopodobieństwa i geometrię przestrzenną. Rozdziały są podzielone na tematy odpowiadające jednej, dwóm lub trzem jednostkom lekcyjnym. Głębsze zrozumienie omawianych zagadnień umożliwiają rozwiązane przykłady oraz ćwiczenia przeznaczone do samodzielnego rozwiązania. Każdy temat kończą zadania sprawdzające zrozumienie omawianych zagadnień, a każdy rozdział jest zakończony serią zadań zamkniętych i otwartych. Wszystkie zadania na dowodzenie zostały oznaczone symbolem D. Na końcu podręcznika znajdują się odpowiedzi do większości zadań. Matematyka 1. Publikujmy rozwiazania zadan matematycznych oraz testy z. matematyki.Wyrazenia algebraiczne - test wielokrotnego wyboru Rozwiaz test, a nastepnie kliknij na przycisk "Twoje wyniki", a dowiesz sie, jak go. rozwiazales i jaka otrzymasz ocene. Książka nauczyciela do wszystkich klas (1, 2, 3) zawiera w sobie testy, odpowiedzi do sprawdzianów i sprawdziany do poniższych działów: Klasa 1 (podstawa i rozszerzenie) Klasa 2 (podstawa) Klasa 3 (podstawa) 1. Liczby rzeczywiste 2. Język matematyki liczby naturalne, liczby całkowite, liczby wymierne (porównywanie i przedstawianie w różnych postaciach – ułamek zwykły, ułamek dziesiętny), liczby niewymierne (rozpoznawanie liczb niewymiernych, usuwanie niewymierności z mianownika). Twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze. Pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych. Obliczenia procentowe. Posługiwanie się pojęciem procentu i punktu procentowego w rozwiązywaniu zadań praktycznych. Pojęcie względnego i bezwzględnego błędu przybliżenia. Wyznaczanie przybliżenia dziesiętnego danej liczby rzeczywistej z zadaną dokładnością (również z użyciem kalkulatora). Szacowanie wyniku obliczeń z zadaną dokładnością. ■ Zbiory. ■ Oś liczbowa. Przedziały na osi liczbowej. ■ Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej. Własności. Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej. Rozwiązywanie prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną. 3. Funkcje ■ Pojęcie funkcji. Określanie funkcji (wzorem, tabelą, wykresem, opisem słownym). ■ Odczytywanie z wykresu funkcji jej dziedziny, miejsc zerowych, zbioru wartości, wartości największej i wartości najmniejszej w danym przedziale, przedziałów monotoniczności. ■ Przesuwanie wykresu wzdłuż osi OX i osi OY. Przekształcenia wykresu funkcji przez symetrię względem osi układu współrzędnych. ■ Wykres funkcji y = |f(x)|. ■ Zastosowanie funkcji do opisu zależności w przyrodzie, gospodarce i życiu codziennym. (EM) 4. Funkcja liniowa ■ Uporządkowanie informacji o funkcji liniowej: sporządzanie wykresu, wyznaczanie wzoru funkcji na podstawie jej wykresu, interpretacja współczynnika kierunkowego i wyrazu wolnego wzoru funkcji liniowej. ■ Równanie prostej na płaszczyśnie. Warunek równoległości i warunek prostopadłości prostych dla równań w postaci kierunkowej. 35Treści nauczania Najważniejsze zagadnienia ■ Interpretacja geometryczna układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi. ■ Półpłaszczyzna – opis za pomocą nierówności. 5. Funkcja kwadratowa ■ Sporządzanie wykresu funkcji kwadratowej, odczytywanie własności z wykresu. ■ Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji kwadratowej. ■ Wyznaczanie wartości najmniejszej i wartości największej funkcji kwadratowej w przedziale, wykorzystanie tego do rozwiązywania praktycznych zadań optymalizacyjnych. ■ Równania i nierówności stopnia drugiego. Rozwiązywanie zadań o kontekście praktycznym, prowadzących do równań i nierówności stopnia drugiego. ■ Wzory Viéte’a. Proste równania i nierówności kwadratowe z parametrem. 6. Planimetria ■ Twierdzenie Talesa i jego związek z podobieństwem. Cechy podobieństwa trójkątów. ■ Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. ■ Wyznaczanie związków miarowych w figurach płaskich z zastosowaniem trygonometrii, także w sytuacjach praktycznych. 1. Wielomiany ■ Wielomiany. Działania na wielomianach: dodawanie, odejmowanie i mnożenie. ■ Rozwiązywanie równań wielomianowych z jedną niewiadomą poprzez rozkład na czynniki, stosując: wyłączanie wspólnego czynnika, grupowanie wyrazów oraz wzory skróconego mnożenia. 2. Wyrażenia wymierne ■ Proporcjonalność odwrotna, jej wykres i własności. ■ Rozwiązywanie zadań praktycznych związanych z proporcjonalnością odwrotną. ■ Wyrażenia wymierne i ich dziedzina. Wyznaczanie wartości liczbowej wyrażenia wymiernego. ■ Działania na wyrażeniach wymiernych. ■ Rozwiązywanie prostych równań wymiernych, x + 1 np. x + 3 = 2 ; x + x 1 = 2 . ■ Rozwiązywanie zadań o kontekście praktycznym, prowadzących do rozwiązywania prostych równań wymiernych. Najważniejsze zagadnienia 3. Funkcje wykładnicze i logarytmy 4. Ciągi liczbowe ■ Definicja i przykłady ciągów liczbowych. ■ Ciąg arytmetyczny i geometryczny. ■ Wzór na n – ty wyraz ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego. Potęga o wykładniku rzeczywistym i jej własności. Pojęcie i własności logarytmu. Definicja i wykresy funkcji wykładniczych. Rozwiązywanie zadań o kontekście praktycznym z zastosowaniem funkcji wykładniczych. Wzór na sumę n początkowych wyrazów tych ciągów. ■ Procent składany. Oprocentowanie lokat i kredytów. ■ Zastosowanie własności kątów środkowych, kątów wpisanych oraz 5. Planimetria kąta między styczną a cięciwą. ■ Odległość między punktami na płaszczyśnie kartezjańskiej. ■ Współrzędne środka odcinka. ■ Równanie okręgu (x – a) 2 + (y – b) 2 = r 2 . 1. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka ■ Elementy kombinatoryki: zliczanie obiektów w prostych sytuacjach 2. Elementy statystyki opisowej ■ Odczytywanie i interpretowanie danych statystycznych z tabel, kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych. ■ Zasada mnożenia. ■ Definicja klasyczna prawdopodobieństwa i jej zastosowanie do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń losowych. diagramów i wykresów. (EM) ■ Przedstawianie danych empirycznych w postaci tabel, diagramów i wykresów. ■ Obliczanie średniej arytmetycznej, średniej ważonej, mediany i odchylenia standardowego (liczone z próby); interpretacja tych parametrów. 3. Stereometria ■ Własności podstawowych figur przestrzennych: graniastosłupów (prostych, prawidłowych) i ostrosłupów. ■ Wzajemne położenie krawędzi i ścian brył; kąt nachylenia prostej do płaszczyzny i kąt dwuścienny. ■ Własności brył obrotowych: kuli, walca, stożka. ■ Wyznaczanie związków miarowych w bryłach z zastosowaniem trygonometrii. Klasa 2 (rozszerzenie) Klasa 3 (rozszerzenie) 1. Wielomiany ■ Wielomiany. Działania na wielomianach: dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie wielomianów z resztą przez dwumian x–a. Twierdzenie o reszcie. ■ Rozwiązywanie równań i nierówności wielomianowych z jedną niewiadomą poprzez rozkład na czynniki, stosując: wyłączanie wspólnego czynnika, grupowanie wyrazów oraz wzory skróconego n–1n mnożenia w tym również wzór (a – 1)(1 + a +…+ a ) = a – 1. ■ Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych. 2. Wyrażenia wymierne ■ Proporcjonalność odwrotna, jej wykres i własności. ■ Rozwiązywanie zadań praktycznych związanych z proporcjonalnością odwrotną. ■ Wyrażenia wymierne i ich dziedzina. Wyznaczanie wartości liczbowej wyrażenia wymiernego. ■ Działania na wyrażeniach wymiernych. ■ Rozwiązywanie prostych równań wymiernych, x + 1 np. x + 3 = 2 ; x + x 1 = 2 . ■ Rozwiązywanie prostych nierówności wymiernych, x + 1 np. x + 3 > 2 ; x + x 1 a, cos x > a, tg x > a. ■ Szkicowanie na podstawie wykresu y = f(x) wykresów: y = cf (x), y = f(dx) oraz wykresów będących efektem wykonania kilku operacji, np. y = |f(3x+2)|. ■ Rozwiązywanie równań trygonometrycznych typu: sin 2x = 2 ,sin x + cosx = 1. 4. Funkcje wykładnicze i funkcje logarytmiczne 5. Ciągi liczbowe ■ Definicja (również rekurencyjna) i przykłady ciągów liczbowych. ■ Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny. ■ Wzór na n – ty wyraz ciągu arytmetycznego i ciągu Potęga o wykładniku rzeczywistym i jej własności. Pojęcie i własności logarytmu. Definicja i wykresy funkcji logarytmicznych i funkcji wykładniczych. Rozwiązywanie zadań o kontekście praktycznym z zastosowaniem funkcji wykładniczych. geometrycznego. Wzór na sumę n początkowych wyrazów tych ciągów. ■ Procent składany. Oprocentowanie lokat i kredytów. 6. Planimetria ■ Zastosowanie własności kątów środkowych, kątów wpisanych oraz kąta między styczną a cięciwą. ■ Zastosowanie twierdzenia o związkach miarowych między odcinkami stycznych i siecznych. ■ Własności czworokątów wypukłych. Okrąg wpisany w czworokąt. Okrąg opisany na czworokącie. ■ Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów. ■ Wyznaczanie związków miarowych w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów. ■ Odległości między punktami na płaszczyśnie kartezjańskiej. ■ Współrzędne środka odcinka. ■ Wektory, działania na wektorach, interpretacja geometryczna działań na wektorach. Zastosowanie wektorów do dowodzenia własności figur płaskich. Jednokładność. Okrąg i koło w układzie współrzędnych. Punkty przecięcia prostej z okręgiem i pary okręgów. 1. Rachunek prawdopodobieństwa Najważniejsze zagadnienia ■ Silnia i symbol Newtona. ■ Elementy kombinatoryki: zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych. ■ Zasada mnożenia. ■ Zastosowanie wzorów na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji z powtórzeniami i wariacji bez powtórzeń. ■ Definicja klasyczna prawdopodobieństwa i jej zastosowanie do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń losowych. Treści nauczania 2. Elementy statystyki opisowej Najważniejsze zagadnienia ■ Odczytywanie i interpretowanie danych statystycznych z tabel, diagramów i wykresów. (EM) ■ Przedstawianie danych empirycznych w postaci tabel, diagramów i wykresów. ■ Obliczanie średniej arytmetycznej, średniej ważonej, mediany, wariancji i odchylenia standardowego (liczone z próby); interpretacja tych parametrów. 3. Stereometria ■ Własności podstawowych figur przestrzennych: graniastosłupów (prostych, prawidłowych) i ostrosłupów. ■ Wzajemne położenie krawędzi i ścian brył; kąt nachylenia prostej do płaszczyzny i kąt dwuścienny. ■ Wyznaczanie przekrojów płaskich graniastosłupów i ostrosłupów. ■ Własności brył obrotowych : kuli, walca, stożka. ■ Wyznaczanie związków miarowych w bryłach z zastosowaniem trygonometrii. MaTeMAtyka – zakres podstawowy na stronie wydawnictwa Nowa Era MaTeMAtyka – zakres rozszerzony na stronie wydawnictwa Nowa Era Książka nauczyciela: klucz odpowiedzi, ksiązka naczyciela mateamtyka nowa era, książka nauczyciela, liceum, matematyka, nowa era, podstawowy i rozszerzony sprawdziany, rozwiązania, sprawdzian, test Zakres podstawowy. Reforma 2019 rozwiązania. Odpowiedzi do zadań z podręcznika Matematyka z plusem 2. z zakresu podstawowego, reformy 2019 roku, wydanego 2020 roku przez wydawnictwo GWO, autorstwa Małgorzaty Dobrowolskiej, Marcina Karpińskiego i Jacka Lecha (ISBN: 978-83-8118-131-0) dla klas drugich liceów ogólnokształcących i Dostępność: W magazynie Typ publikacji Vademecum Format B5 Liczba stron 396 Poziom nauczania Szkoły ponadgimnazjalne ISBN 978-83-8197-012-9 Autorzy Kinga Gałązka Cena promocyjna 49,90 zł Cena regularna 58,71 zł Jak zdać maturę z matematyki? Matematyka jako obowiązkowy przedmiot na egzaminie maturalnym stanowi wyzwanie. Vademecum do matematyki zostało przygotowane przede wszystkim z myślą o uczniach klas maturalnych, jednak z pewnością jest też bezcenną pomocą dla uczniów wszystkich klas szkół ponadgimnazjalnych. Dzięki ogromnej liczbie zadań rozwiązanych metodą krok po kroku pozwala sprawnie przygotować się do matury z matematyki w zakresie podstawowym. By pomóc uczniom w odnalezieniu potrzebnych treści i w skutecznej nauce wymaganego materiału, autorka zwróciła szczególną uwagę na funkcjonalne i przejrzyste ułożenie treści. W vademecum znajdują się zadania już rozwiązane, a także przeznaczone do samodzielnego rozwiązania ‒ odpowiedzi do nich również umieszczono w publikacji. Ponadto w vademecum zawarto niezbędne teoretyczne omówienie zagadnień, objaśnione w licznych przykładach. Vademecum z matematyki, zakres podstawowy, składa się z części „Zadania” i „Teoria” podzielonych na następujące działy: Liczby rzeczywiste Wyrażenia algebraiczne Równania i nierówności Funkcje Ciągi Trygonometria Planimetria Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Stereometria Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Co znajdziesz w vademecum z matematyki, zakres podstawowy? wzory, twierdzenia, definicje i własności niezbędne definicje, twierdzenia i wzory uzupełnione wieloma przykładami szczegółowe rozwiązania wszystkich typów zadań maturalnych zadania do samodzielnego rozwiązania z odpowiedziami rozwiązane zadania na dowodzenie do każdego działu określonego w podstawie programowej przykłady prostych rozwiązań dla zadań trudnych i nietypowych W każdym vademecum Wydawnictwa Operon znajduje się unikatowy kod dostępu do interaktywnej platformy Giełda Maturalna. Platforma wspiera skuteczne przygotowanie do matury. Uczeń otrzyma więc dodatkowo dostęp do: testów diagnostycznych, sprawdzianów i arkuszy online rozwiązań zadań „krok po kroku” video z rozwiązaniami najtrudniejszych zadań „krok po kroku” fiszek do nauki strefy Próbnej Matury z Operonem Więcej informacji ISBN 978-83-8197-012-9 Autorzy Kinga Gałązka Typ publikacji Vademecum Klasa 4 Seria Cykl 2023 Przedmiot Matematyka